Buvau klastingas vaikas, kuris užaugo literatūros srityje ir elgėsi su matematika ir mokslais taip, tarsi galėtų pagauti marą. Todėl gana keista, kad dėl to tapau asmeniu, kuris kasdien susiduria su trigubais integralais, Furjė transformacijomis ir matematikos perlu - Eulerio lygtimi. Sunku patikėti, kad iš žmogaus, turinčio tiesioginę įgimtą fobiją link matematikos, aš pavirta inžinerijos profesoriumi.
Vieną dieną vienas mano mokinys paklausė, kaip aš tai padariau: kaip aš pakeičiau savo smegenis. Norėjau atsakyti: "Velnias, buvo be galo sunku!" Juk negalėjau mokytis matematikos ir gamtos mokslų pradinėse, vidurinėse ir vidurinėse mokyklose. Tiesą sakant, matematikos pamokas pradėjau lankyti tik po to, kai buvau 26 metų amžiaus atleistas iš armijos. Jei būtų suaugusio žmogaus smegenų lankstumo pavyzdys, tapčiau modeliu Nr. 1.
Suaugęs matematikos ir gamtos mokslų tyrimas man atvėrė duris į daugybę galimybių - inžinerijos - pasaulį. Atliekant sunkų darbą suaugus, mano smegenų pokyčiai leido man tiesiogiai pamatyti neuroplastiką, kuria grindžiamas suaugusiųjų mokymasis. Laimei, pasiruošimas daktaro disertacijai sistemų inžinerijos srityje, susiejant didžiulį skirtingų STEM disciplinų (gamtos mokslų, technologijų, inžinerijos, matematikos) vaizdą, o vėliau mano tolesniems tyrimams ir darbams, kurių pagrindinis dėmesys buvo sutelktas į žmogaus mąstymo struktūrą, man padėjo suvokti pastarąjį. neuromokslų ir kognityvinės psichologijos atradimai, susiję su mokymosi procesu.
Nuo tada, kai įgijau daktaro laipsnį, per mano rankas perėjo tūkstančiai studentų, pradinės ir vidurinės mokyklos mokiniai tikėjo, kad šventasis matematikos supratimo talismanas yra aktyvi diskusija. Manoma, kad jei tu gali paaiškinti kitiems, ką išmokai, pavyzdžiui, nupiešdamas paveikslą, tada supranti jį.
Japonija tapo nuostabiu ir mėgdžiojamu šių aktyvaus mokymosi „supratimo“metodų pavyzdžiu. Tačiau apie šios sąvokos minusą nedažnai kalbama: Japonija taip pat tapo Kumono matematikos mokymo metodo, kuris pagrįstas įsiminimu, kartojimu, įspraudimu ir darbu, kaip vaikas įsisavina medžiagą, gimtine. Šią intensyvią popamokinę programą (ir kitas panašias) nekantriai priėmė Japonijos ir viso pasaulio tėvai, kurie savo vaikų internetinį mokymą papildo daugybe praktikų, pakartojimų ir, taip, sudėtingais spūstimis, suteikdami jiems laisvę įsisavinti dalyką.
JAV supratimo akcentavimas kartais išstumia dar vieną senesnį metodą, kurį naudoja (ir naudoja) mokslininkai: norint studijuoti matematiką ir mokslą, reikia dirbti su natūraliu smegenų procesu.
Naujausia matematikos švietimo reformų banga yra susijusi su privaloma mokyklos programa: tai bandymas nustatyti tvirtus, vienodus standartus visoje Amerikoje, nors kritikai pabrėžia, kad standartai nėra lyginami su geriausiai besiverčiančiomis šalimis. Bent jau paviršutiniškai standartai suteikia pagrįstą perspektyvą. Jie daro prielaidą, kad matematikos srityje studentai turėtų turėti vienodas koncepcines žinias, sklandžiai spręsti problemas ir gebėti jas pritaikyti.
Žinoma, laimikis slypi tuo, kad viskas bus padaryta. Esant dabartinei švietimo klimatui, STEM disciplinų įsiminimas ir kartojimas (palyginti su kalbos ar muzikos mokymusi) tiek studentų, tiek mokytojų dažnai laikomas žeminančiu laiko švaistymu. Daugelis mokytojų jau seniai mokomi, kad koncepcinės žinios yra esminės STEM disciplinose. Iš tiesų mokytojams lengviau įtraukti mokinius į matematikos temos aptarimą (o jei tai tinkamai padaryta, tai geriau supranta), nei nuobodu vertinti atliktus namų darbus. Tai reiškia, kad įgūdžių sklandumas ir gebėjimas juos pritaikyti turi vystytis lygiai taip pat, kaip ir konceptualios žinios, ir tai dažnai neįvyksta. Konceptualių žinių sklaida karaliauja ypač brangiais klasės laikais.
Reklaminis vaizdo įrašas:
Sunku sutelkti dėmesį į supratimą yra tas, kad matematikos ir gamtos pamokose studentai dažnai gali suvokti svarbų dalyką, tačiau šios žinios gali greitai paslysti, neįsitvirtinusios praktikoje ir nepasikartojant. Dar blogiau, kad studentai dažnai mano, kad ką nors supranta, kai iš tikrųjų taip nėra. Pabrėždami supratimo svarbą, mokytojai gali nesąmoningai pastūmėti savo mokinius į nesėkmę, o vaikai pasiduoda žinių iliuzijai. Kaip neseniai man pasakė vienas inžinerijos studentas (neišlaikęs egzamino): „Aš tiesiog nesuprantu, kaip galėčiau pasiekti tokį blogą rezultatą. Aš viską supratau, kai paaiškinai pamokoje “. Mano studentas galėjo pagalvoti, kad tada jis suprato temą, ir galbūt suprato, bet niekada nepanaudojo šių žinių praktiškai, kad tikrai jų išmoktų. Jis nėra išsiugdęs jokio sprendimo įgūdžio ar gebėjimo pritaikyti tai, ką, jo manymu, jau suprato.
Tarp matematikos ir gamtos mokslų bei sporto įvaldymo yra įdomus ryšys. Kai moki pataikyti į golfo lazdą, tobulini šį judesį nuolat kartodamas keletą metų. Jūsų kūnas žino, ką daryti, kai tik galvojate apie tai (visą bloką), užuot prisiminęs visus sunkius žingsnius, kurių reikia norint pataikyti į kamuolį.
Lygiai taip pat, kai ką nors supranti apie matematiką ir mokslus, neprivalai to nuolat sau aiškinti kiekvieną kartą, kai susiduri su tema. Jums nereikia su savimi nešioti 25 rutuliukus, nuolat išdėstant penkių dalių eilutes, kad suprastumėte, jog 5 × 5 = 25. Tam tikru metu jūs tiesiog žinote tai mintinai. Prisimenate mintį, kad jums tiesiog reikia pridėti rodiklius (maži skaičiai, užrašyti viršuje), dauginant tą patį skaičių skirtingais laipsniais (104 × 105 = 109). Jei dažnai atliksite šią procedūrą, išspręsdami daug įvairių problemų, pastebėsite, kad labai gerai suprantate tiek priežastis, tiek veiksmus, kuriais grindžiamos šios procedūros. Supratimą praplečia tai, kad jūsų smegenys sukūrė prasmės schemas. Nuolatinis dėmesys pačiam supratimui iš tikrųjų trukdo.
Visa tai sužinojau apie matematiką ir mokymosi procesą ne K-12 klasėse, o pagal savo patirtį, būdamas vaikas, augdamas skaitydamas Madeleine Langele ir Dostojevskį, kurie mokėsi kalbos viename iš pirmaujančių pasaulio kalbų universitetų, o paskui staiga virto inžinerijos profesoriumi.
Jaunystėje, turėdamas talentą kalboms ir neturėdamas pakankamai pinigų ar įgūdžių, negalėjau sau leisti stoti į koledžą (tada nebuvo kalbos apie kolegijos paskolas). Taigi iš vidurinės mokyklos nuėjau tiesiai į armiją. Man patiko mokytis užsienio kalbų dar vidurinėje mokykloje, o kariuomenė man atrodė vieta, kur žmonėms buvo mokami pinigai mokytis užsienio kalbų, net jei jie mokėsi prestižiniame Kariniame užsienio kalbų institute, kur kalbos mokymasis išaugo į mokslą. Pasirinkau rusų kalbą, nes ji labai skyrėsi nuo anglų kalbos, tačiau tai nebuvo taip sunku, kad teko ją mokytis amžiams ir išmokti kalbėti ketverių metų lygiu. Be to, geležinė uždanga patraukė paslaptimi: staiga galėsiu panaudoti savo rusų kalbos žinias ir pasižvalgyti,kas slypi už jo?
Po tarnybos armijoje pradėjau versti rusams, dirbusiems sovietų tralais Beringo jūroje. Darbas rusams buvo įdomus ir įdomus, be to, tai buvo šiek tiek spalvingas darbas migrantams. Žvejybos sezono metu einate prie jūros, užsidirbate deramų pinigų, pakeliui nuolat prisigeriate, paskui sezono pabaigoje grįžtate į uostą ir tikitės, kad kitais metais jus vėl pakvies į darbą. Žmogui, kalbančiam rusiškai, buvo tik viena alternatyva įdarbinimui - darbas Nacionalinio saugumo agentūroje (mano draugai armijoje man nuolat siūlė šį variantą, bet tai ne man).
Pradėjau suprasti, kad užsienio kalbos mokėjimas savaime yra naudingas verslas, tačiau turintis ribotą potencialą ir galimybių skaičių. Niekas nenutraukė mano telefono, niekam nereikėjo mano žinių apie pareiškimus rusų kalba. Nebent ketinau priprasti prie jūros ligos ir kartais prastos mitybos baisiems traleriams Beringo jūros viduryje. Visą laiką prisiminiau inžinierius, kurie mokėsi Vest Pointe, su kuriais dirbau kariuomenėje. Jų matematinis ir mokslinis požiūris į problemų sprendimą akivaizdžiai buvo naudingas realiame pasaulyje, kur kas naudingesnis nei mano jaunystės nesėkmės su matematika būtų leidusios man įsivaizduoti.
Taigi, būdamas 26 metų, palikdamas kariuomenę ir ieškodamas naujų galimybių, supratau: jei tikrai noriu išbandyti ką nors naujo, kodėl gi nepradėjus to, kas man galėtų atverti visą naujų perspektyvų pasaulį? Kažkas panašaus į inžineriją? Tai reiškė, kad bandysiu išmokti visai kitą kalbą - skaičiavimo kalbą.
Prastai suprasdamas net paprasčiausią matematiką, mano pastangos po armijos prasidėjo nuo atkuriamųjų algebros ir trigonometrijos pamokų. Tai buvo daug mažiau nei nulinis daugumos kolegijų studentų lygis. Kartais bandymas perprogramuoti smegenis man atrodė juokingas užsiėmimas, ypač kai pažvelgiau į jaunus savo jaunesnių klasiokų veidus ir supratau, kad jie jau atsisakė sunkių matematikos ir gamtos mokslų klasių, ir aš nusprendžiau eiti tiesiai jų pasitikti. Bet mano atveju, turėdamas patirties įsisavinti rusų kalbą suaugęs, įtariau (arba tiesiog tikėjausi), kad užsienio kalbos mokymosi aspektuose bus kažkas, ką galėčiau naudoti įvaldydamas matematiką ir mokslus.
Kai mokiausi rusų kalbos, susitelkiau ne tik į kalbos supratimą, bet ir į jos sklandumą. Laisvas visos sistemos (šiuo atveju kalbos) naudojimas reikalauja artimo susipažinimo, kuris pasiekiamas tik pakartotinai ir įvairiai bendraujant su jos elementais. Kur mano klasės draugai buvo patenkinti paprastu sakytinės ar rašytinės rusų kalbos supratimu, aš bandžiau sukurti vidinį, gilų ryšį su kalbos žodžiais ir struktūra. Aš nesitenkinau vien žodžio „suprasti“reikšmės žinojimu. Veiksmažodį naudojau praktikoje: nuolat konjuguodavau jį skirtingais laikais, naudodavau sakiniais ir galiausiai supratau ne tik kada vartoti šią veiksmažodžio formą, bet ir kada to nedaryti. Treniravausi iššūkiui greitai prisiminti visus šiuos aspektus ir variantus. Jei nemokate kalbos ir kažkas jus greitai plepa, kaip tai vyksta įprasto pokalbio metu (kuris visada skamba siaubingai greitai, kai moki užsienio kalbą), tu neįsivaizduoji, kas tu esi iš tikrųjų jie sako, nors techniškai suprantate kiekvieną žodį atskirai ir frazių struktūrą. Žinoma, jūs pats negalite kalbėti pakankamai greitai, kad gimtąja kalba kalbantys žmonės galėtų mėgautis jumis.
Taikydamas šį požiūrį (sutelkdamas dėmesį į sklandumą, o ne tik į supratimą), aš aplenkiau visus klasės žmones. Tada to nesuvokiau, tačiau šis požiūris į kalbų mokymąsi suteikė intuityvų supratimą apie pagrindinį mokymosi pagrindą ir išsiugdytą kompetenciją - blokų formavimąsi.
Blokų formavimą iš pradžių sukūrė revoliucinis Herberto Simono darbas, kuriame jis analizavo šachmatus: blokai buvo vertinami kaip įvairūs nerviniai skirtingų šachmatų schemų atitikmenys. Pamažu neuromokslininkai suprato, kad tokie specialistai, kaip šachmatų didmeistriai, to pasiekė kaupdami tūkstančius žinių apie savo kompetencijos sritį ilgalaikėje atmintyje. Pavyzdžiui, didmeistriai gali prisiminti dešimtis tūkstančių skirtingų šachmatų modelių. Nepaisant disciplinos, žinovai sąmonėje gali pažadinti vieną ar kelis gerai suvirintus, surinktus į nervinių paprogramių bloką, kurių pagalba jie analizuoja ir reaguoja susidūrę su poreikiu išmokti naujų dalykų. Tikro supratimo lygis, gebėjimas jį naudoti naujose situacijose pasirodo tik turint aiškumą, žinių lygį,kuris gali suteikti tik pakartojimą, įsiminimą ir praktiką.
Kaip parodė šachmatininkų, greitosios medicinos pagalbos gydytojų ir naikintuvų pilotų tyrimai, didžiausio streso metu sąmoningą situacijos analizę pakeičia greitas pasąmonės apdorojimas, nes visi šie specialistai giliu lygiu sukuria nervinių paprogramių sistemą, blokus. Tam tikru momentu sąmoningas „supratimas“, kodėl atlieki tą ar tą veiksmą, tarnauja tik kaip kliūtis ir lemia ne pačius sėkmingiausius sprendimus. Kai intuityviai supratau, kad tarp užsienio kalbos ir matematikos mokymosi yra ryšys, buvau teisus. Kasdienis ilgalaikis praktinis rusų kalbos mokėjimas sukėlė ir sustiprino mano nervinius ryšius, ir aš pamažu ėmiau susieti kalbos žinias, kurias dabar galima lengvai naudoti. Organizuodami mokymąsi „sluoksniais“(kitaip tariant,praktikuodamas taip, kad ne tik žinojau, kada vartoti žodį, bet ir kada ne, ar geriau kitą jo variantą), iš tikrųjų naudojau tą patį požiūrį, kurio laikosi matematikos ir gamtos mokslų praktikai. Studijuodamas matematiką ir inžineriją būdamas suaugęs, pradėjau naudoti tą pačią strategiją, kaip ir studijuodamas užsienio kalbą. Aš pažiūrėjau į lygybę, paimdamas elementariausią pavyzdį, į antrąjį Niutono dėsnį f = ma. Treniravausi suprasti, ką reiškia kiekviena raidė: f - gravitacija - reiškiamas slėgis, m - kūno masė - sukelia tam tikrą pasipriešinimą mano slėgiui ir a - gaivinantį pagreičio jausmą. (Mokant rusų kalbą atitikmuo buvo garsiai pasakyti rusų abėcėlės raides). Aš įsiminiau lygybę taip, kad ji įsitvirtino mano atmintyje,ir aš galėčiau su juo žaisti. Jei m ir a buvo dideli skaičiai, kaip tai paveikė f, kai prijungiau juos prie formulės? Jei f buvo didelis ir a buvo mažas, kaip tai paveikė m? Kaip sutapo lygybės dalys? Žaidimas lygybe buvo tarsi veiksmažodžio junginys. Pradėjau intuityviai suprasti, kad neryškūs lygybės kontūrai yra tarsi metaforomis persotintas eilėraštis, kuriame slepiasi daug gražių simbolinių vaizdų. Nors tuo metu aš to nevadinčiau, iš tiesų, norėdamas gerai įvaldyti matematiką ir gamtos mokslus, turėjau lėtai, diena po dienos, kurti stiprias nervų „blokų“rutinas (kaip ir tas, kurias dariau su formule f = ma), kad galėčiau lengvai naudoti informaciją iš ilgalaikės atminties, kaip tai dariau su rusų kalba. Jei m ir a buvo dideli skaičiai, kaip tai paveikė f, kai prijungiau juos prie formulės? Jei f buvo didelis ir a buvo mažas, kaip tai paveikė m? Kaip sutapo lygybės dalys? Žaidimas lygybe buvo tarsi veiksmažodžio junginys. Pradėjau intuityviai suprasti, kad neryškūs lygybės kontūrai yra tarsi metaforomis persotintas eilėraštis, kuriame slepiasi daug gražių simbolinių vaizdų. Nors tuo metu to nevadinčiau, iš tikrųjų, norėdamas gerai įvaldyti matematiką ir mokslus, turėjau dieną po dienos lėtai kurti tvirtas nervų „blokavimo“rutinas (kaip ir tas, kurias dariau su formule f = ma), kad galėčiau lengvai naudoti informaciją iš ilgalaikės atminties, kaip tai dariau su rusų kalba. Jei m ir a buvo dideli skaičiai, kaip tai paveikė f, kai prijungiau juos prie formulės? Jei f buvo didelis ir a buvo mažas, kaip tai paveikė m? Kaip sutapo lygybės dalys? Žaidimas lygybe buvo tarsi veiksmažodžio junginys. Pradėjau intuityviai suprasti, kad neryškūs lygybės kontūrai yra tarsi metaforomis persotintas eilėraštis, kuriame slepiasi daug gražių simbolinių vaizdų. Nors tuo metu to nevadinčiau, iš tiesų, norint gerai įvaldyti matematiką ir mokslus, man reikėjo lėtai, diena po dienos, kurti tvirtas nervų „blokavimo“rutinas (kaip ir tas, kurias dariau su formule f = ma), kad galėčiau lengvai naudoti informaciją iš ilgalaikės atminties, kaip tai dariau su rusų kalba.kada aš juos pakeičiau į formulę? Jei f buvo didelis ir a buvo mažas, kaip tai paveikė m? Kaip sutapo lygybės dalys? Žaidimas lygybe buvo tarsi veiksmažodžio junginys. Pradėjau intuityviai suprasti, kad neryškūs lygybės kontūrai yra tarsi metaforomis persotintas eilėraštis, kuriame slepiasi daug gražių simbolinių vaizdų. Nors tuo metu to nevadinčiau, iš tikrųjų, norėdamas gerai įvaldyti matematiką ir mokslus, turėjau lėtai, diena po dienos, kurti stiprias nervų „blokų“rutinas (kaip ir tas, kurias dariau su formule f = ma), kad galėčiau lengvai naudoti informaciją iš ilgalaikės atminties, kaip tai dariau su rusų kalba.kada aš juos pakeičiau į formulę? Jei f buvo didelis ir a buvo mažas, kaip tai paveikė m? Kaip sutapo lygybės dalys? Žaidimas lygybe buvo tarsi veiksmažodžio junginys. Pradėjau intuityviai suprasti, kad neryškūs lygybės kontūrai yra tarsi metaforomis persotintas eilėraštis, kuriame slepiasi daug gražių simbolinių vaizdų. Nors tuo metu to nevadinčiau, iš tiesų, norėdamas gerai įvaldyti matematiką ir gamtos mokslus, turėjau lėtai, diena po dienos, kurti stiprias nervų „blokų“rutinas (kaip ir tas, kurias dariau su formule f = ma), kad galėčiau lengvai naudoti informaciją iš ilgalaikės atminties, kaip tai dariau su rusų kalba.kaip tai paveikė m? Kaip sutapo lygybės dalys? Žaidimas lygybe buvo tarsi veiksmažodžio junginys. Pradėjau intuityviai suprasti, kad neryškūs lygybės kontūrai yra tarsi metaforomis persotintas eilėraštis, kuriame slepiasi daug gražių simbolinių vaizdų. Nors tuo metu aš to nevadinčiau, iš tiesų, norėdamas gerai įvaldyti matematiką ir gamtos mokslus, turėjau lėtai, diena po dienos, kurti stiprias nervų „blokų“rutinas (kaip ir tas, kurias dariau su formule f = ma), kad galėčiau lengvai naudoti informaciją iš ilgalaikės atminties, kaip tai dariau su rusų kalba.kaip tai paveikė m? Kaip sutapo lygybės dalys? Žaidimas lygybe buvo tarsi veiksmažodžio junginys. Pradėjau intuityviai suprasti, kad neryškūs lygybės kontūrai yra tarsi metaforomis persotintas eilėraštis, kuriame slepiasi daug gražių simbolinių vaizdų. Nors tuo metu to nevadinčiau, iš tikrųjų, norėdamas gerai įvaldyti matematiką ir mokslus, turėjau dieną po dienos lėtai kurti tvirtas nervų „blokavimo“rutinas (kaip ir tas, kurias dariau su formule f = ma), kad galėčiau lengvai naudoti informaciją iš ilgalaikės atminties, kaip tai dariau su rusų kalba.kuriame yra daug gražių simbolinių vaizdų. Nors tuo metu to nevadinčiau, iš tikrųjų, norėdamas gerai įvaldyti matematiką ir mokslus, turėjau dieną po dienos lėtai kurti tvirtas nervų „blokavimo“rutinas (kaip ir tas, kurias dariau su formule f = ma), kad galėčiau lengvai naudoti informaciją iš ilgalaikės atminties, kaip tai dariau su rusų kalba.kuriame paslėpta daug gražių simbolinių vaizdų. Nors tuo metu to nevadinčiau, iš tikrųjų, norėdamas gerai įvaldyti matematiką ir mokslus, turėjau dieną po dienos lėtai kurti tvirtas nervų „blokavimo“rutinas (kaip ir tas, kurias dariau su formule f = ma), kad galėčiau lengvai naudoti informaciją iš ilgalaikės atminties, kaip tai dariau su rusų kalba.kaip aš dariau su rusų kalba.kaip aš dariau su rusų kalba.
Kartais matematikos ir gamtos mokslų mokytojai man sakydavo, kad giliai į galvą įdėta informacijos dalis yra absoliutus jų sėkmės pagrindas. Supratimas nesukuria sklandžių žinių; priešingai, sklandumas ugdo supratimą. Tiesą sakant, manau, kad tikras sudėtingo dalyko supratimas atsiranda tik laisvai jį įsisavinant.
Kitaip tariant, mokant gamtos mokslų ir matematikos, lengva pereiti prie mokymo metodų, kai akcentuojamas supratimas, vengiama įprasto kartojimo ir praktikos, kurios yra dalyko sklandumo pagrindas. Aš išmokau rusų kalbą ne tik todėl, kad supratau - juk supratimas nėra tokia sunki užduotis, tačiau ji gali lengvai paslysti nuo tavęs. (Ką reiškia rusiškas žodis „suprasti“?) Aš išmokau rusų kalbą, siekdamas sklandumo praktikuodamasis, kartodamasis ir prisikimšdamas, tik tas prisikimšimas, kuris paskatino gebėjimą mąstyti lanksčiai ir greitai. Išmokau matematikos ir gamtos mokslų vadovaudamasis tais pačiais principais. Kalba, matematika, gamtos mokslai, kaip ir beveik visos žmogaus žinių sritys, naudoja tuos pačius smegenų mechanizmus.
Kai įsiveržiau į naują gyvenimą, tapau elektros inžinieriumi, o paskui inžinerijos profesoriumi, praeityje palikau rusų kalbą. Bet praėjus 25 metams po to, kai paskutinį kartą gėriau ant sovietinio tralerio, su šeima nusprendėme važiuoti per Rusiją Transsibiro geležinkeliu. Nepaisant to, kad laukiau šios kelionės, apie kurią seniai svajojau, jaudinausi. Per visus šiuos metus vargu ar ištariau bent žodžio rusiškai. Ką daryti, jei aš jį visiškai pamiršau? Ką man davė visi šie kalbos mokėjimo metai?
Žinoma, kai pirmą kartą įlipome į traukinį, aš kalbėjau rusiškai kaip dvejų metų vaikas. Pašėlusiai ieškojau žodžių, padariau klaidą deklinacijoje ir konjugacijoje, mano buvęs beveik tobulas tarimas virto baisiu akcentu. Bet pamatai buvo padėti, ir diena iš dienos mano rusų kalba vis gerėjo. Bet net turėdamas pagrindinį lygį, sugebėjau susidoroti su kasdienėmis užduotimis mūsų kelionės metu. Netrukus gidai pradėjo kreiptis į mane, kad galėčiau padėti juos išversti kitiems keleiviams. Galiausiai atvykome į Maskvą ir sėdome į taksi. Vairuotojas, kaip netrukus supratau, ketino apiplėšti kaip lipnus žmogus - jis važiavo lygiai priešinga kryptimi, pro kamščius, tikėdamasis, kad nieko nesuprantantys užsieniečiai tyliai mokės už papildomą valandą tokiu tarifu. Staiga manęs išvengė rusiški žodžiai,kurio nekalbu dešimtmečius. Net nesupratau, kad juos pažįstu.
Kažkur giliai mintyse mano sklandumas kalboje išliko ir pasirodė tinkamu momentu: tai greitai mus išvydo iš bėdos (ir padėjo susirasti kitą taksi). Sklandumas leidžia supratimui tapti sąmonės dalimi ir atsiranda tada, kai to reikia.
Kai šiandien matau, kiek mūsų šalyje trūksta gamtos mokslų ir matematikos specialistų, stebiu šiuolaikines pedagogikos tendencijas, apmąstydamas savo kelią, įgytas žinias apie mūsų smegenų sugebėjimus, suprantu, kad galėtume pasiekti daug daugiau. Kaip tėvai ir mokytojai, mes galime naudoti paprastus, prieinamus metodus, kad pagilintume savo supratimą, kad tai būtų naudinga ir lanksti. Mes galime paskatinti kitus žmones ir save mokytis naujų disciplinų, kurios mums pasirodė per sunkios - matematikos, šokių, fizikos, kalbos, chemijos, muzikos - taip atverdami visiškai naujus pasaulius sau ir kitiems.
Kaip supratau pats, visko pagrindas yra turėti pagrindines, giliai įsišaknijusias laisvas matematikos žinias (ir ne tik „supratimą“). Tai atveria duris daugeliui įdomių patiekalų. Žvelgdamas atgal suprantu, kad neturėjau aklai sekti savo polinkių ir interesų. Mano dalis, kuri „laisvai“mėgo literatūrą ir kalbas, buvo ta pati, dėl kurios mane pamilo matematika ir mokslas, ji pakeitė ir praturtino mano gyvenimą.