Gerai žinomas „būdas greitai praturtėti“yra laimėjimas momentinėje loterijoje. Paprastai tikimybė gauti laimingą bilietą yra labai maža. Tuo labiau neįtikėtina yra Niujorko delikatesų darbuotojos Valerie Wilson istorija, kuri du kartus laimėjo pagrindinį prizą.
2002 m. Ji laimėjo milijoną dolerių „Cool Million“loterijoje, kurios koeficientas 1: 5200000. O po ketverių metų, dalyvaudama Jubiliejaus loterijoje, ji tapo antrojo milijono savininke. Šį kartą laimėjimo tikimybė buvo įvertinta 1: 7 056 00. Kokia buvo jos galimybė laimėti pagrindinį prizą abiejose loterijose? Paprasta apskaičiuoti: 1: (5200 000x705 600) = 1: 3 669 120 000 000 arba maždaug vienas iš 3,7 trln. Galimybė yra tikrai nereikšminga, nes matote, ar įsivaizduojate kitą loteriją.
Tarkime, kad joje dalyvauja visi Žemės gyventojai - 7 milijardai žmonių. Šia proga išleisti 3,7 trln. Bilietai su ištrinamu apsauginiu sluoksniu, iš kurių tik vienas yra laimėtojas, yra vienodai padalinti. Pagal loterijos taisykles, reguliariame savaitiniame piešime kiekvienas dalyvis naudoja vieną bilietą. Žinoma, laimėtojas gali būti pirmasis atviras bilietas. Tačiau blogiausiu atveju laimingo bilieto laukimas tęsis 10 metų!
Turiu pasakyti, kad Amerikos loterijų istorijoje (kurių yra daug ir jos rengiamos nuolat) buvo tik keli atvejai, kai pakartotinai buvo laimimi daugiau nei milijonas dolerių vertės prizai. Tiesa, jie visi buvo susiję su paprastomis loterijomis, kuriose pagrindinis prizas paprastai yra daug didesnis nei pagrindinis momentinės loterijos prizas. Pažymėtina ir tai, kad vienas didžiausių laimėjimų - 254 milijonai dolerių - 2007 m. Atiteko 84 metų pensininkui, kurio pavardė buvo … Wilson. Taigi netikėkite atsitiktinumais po to.
O didžiųjų pergalių rekordininkė buvo Joan Ginter iš Las Vegaso. Per 17 metų ji keturis kartus laimėjo įvairias loterijas - paskutinę 2010 m. - ir „uždirbo“daugiau nei 20 mln. Remiantis skaičiavimais, atsižvelgiant į tikimybę laimėti kiekvieną kartą, toks pasiekimas yra įmanomas tik vienu atveju iš 36 x 1024 arba 36 septilijonų, prieš kuriuos net 3,7 trilijonai arba 3,7 x 10 ²!
Kaip šmaikščiai ir teisingai pastebėjo vienas amerikiečių matematikos profesorius, tikimybių teorijos ekspertas, šis atvejis yra nuostabus, tačiau tikimybė neturi atminties! Kas būdinga, Joan šansai laimėti kitoje loterijoje yra lygiai tokie patys, kaip ir bet kurio kito žaidėjo. Kitaip tariant, jie visada yra, nors ir maži. Turi būti, kad prieš perkant kitą bilietą tokios mintys aplanko (be to, jos ramina) daugelį loterijos mėgėjų.
Puoselėjo šešis
Reklaminis vaizdo įrašas:
- Įvyko neįtikėtina! - taip Bulgarijos loterijos „6 iš 42“direktorius pakomentavo tų pačių laimėtojų skaičių pasirodymą dviem burtais iš eilės: 4, 15, 23, 24, 35 ir 42. Šie įvykiai vyko 2009 m. rugsėjo mėn., tik 4 dienų skirtumu. Niekas, įskaitant ir liudininkus, netikėjo paprastu sutapimu. Tačiau atlikus išsamų patikrinimą, kurį asmeniškai kontroliavo loterijai vadovaujantis sporto ministras, apgaulės neatskleidė. Kodėl visi suabejojo, kad ta pati laimėta skaičių kombinacija atsitiktinai iškrito du kartus iš eilės?
Atlikime paprastą skaičiavimą. Yra iš viso būdų, kaip pasirinkti šešis iš keturiasdešimt dviejų skirtingų skaičių. Tai reiškia, kad tikimybė gauti vienintelį galimą laimėtą skaičių rinkinį bet kokioje lygiaverte yra
Ir kilo rimtų abejonių dėl to paties skaičių derinio atsitiktinumo dviem lygiais iš eilės dėl to, kad šio įvykio tikimybė yra labai maža, tik
Atkreipkite dėmesį, kad tokiose loterijose kartais kartojasi laimėjęs skaičių rinkinys (Bulgarijoje tai įvyko du ar tris kartus), tačiau ne du kartus iš eilės. Bet įdomu, ką darytų loterijos organizatoriai, jei skaičiai iškristų du kartus ir net ta pačia tvarka?
Tuo tarpu, jei pirmą kartą niekas neatspėjo šešių skaičių, tai antrą kartą vienu metu lažinosi 18 žmonių! Tų, kurie skaičiavo didelį laimėjimą, viltys nepasiteisino: piniginiai prizai turėjo būti padalyti visiems. Tarsi norėdami paneigti tikimybių teorijos dėsnius, kito tiražo išvakarėse daugelis rimtai diskutavo, ar vėl uždėti tuos pačius skaičius, nes gali būti, kad jie iškris trečią kartą!
Jei kai kurie loterijos žaidėjai tikisi laimėti dėka savo tariamai sugalvotos skaičių atspėjimo sistemos (anksčiau ar vėliau tai greičiausiai duos rezultatą - pagal tos pačios tikimybių teorijos dėsnius), kiti laikosi primityvių strategijų. Pavyzdžiui, jūs visada statote už tą patį skaičių rinkinį ir laukiate, kol jis pasirodys (jei jis apskritai iškyla). Tai dariusiam amerikiečiui Chrisui Hoffmanui ir 5 iš 39 loterijos gerbėjui, galima sakyti, labai pasisekė: jo reikėjo laukti tik 15 metų! Apie tai, kiek pinigų jis išleido per šį laiką bilietams įsigyti, ir svarbiausia, ar 150 tūkstančių dolerių vertės prizas padengė visas išlaidas, istorija netyla.
„Nemokama“loterija
Beje, apie išleistus pinigus. Dešimtojo dešimtmečio viduryje JAV vyko „pašto loterija“. Ji laimėjo 5 milijonų dolerių piniginį prizą, o galimybė jį gauti buvo 1 iš 200 milijonų. Dalyviams nereikėjo nieko daryti: atlikti statymą ir išsiųsti jį paštu. Leista atlikti tiek statymų, kiek jums patinka, tačiau su sąlyga - išsiųsti juos po vieną. Ar verta dalyvauti tokioje „nemokamoje“loterijoje?
Tokiomis sąlygomis, žinoma, neverta. Ir todėl. Žinant laimėjimo tikimybę ir jos sumą, lengva apskaičiuoti žaidėjo laukiamą išmoką *:
Tačiau laiško siuntimo kaina yra daug didesnė! Kitaip tariant, numatomas laimėjimas yra daug kartų mažesnis už žaidėjo investuotą sumą, o jų skirtumas išreiškiamas neigiamu skaičiumi. Taigi, jei daug kartų išleisite pinigus laivybai, labai greitai turėsite apskaičiuoti nuostolius.
Kaip negalime prisiminti Antono Pavlovičiaus Čechovo istorijos „Gyvenimo bėdos“? Jei jo herojus iškart suprastų, kiek jam kainuotų nusipirkti laimėtą vidaus paskolos bilietą, kuris dalyvavo pinigų loterijoje, jis rimtai pagalvotų, ar jo apskritai reikia.
Kam naudinga „pašto loterija“? Atsakymas akivaizdus: JAV pašto tarnyba. Konservatyviausiais vertinimais, esant palankiai įvykių raidai, pajamos iš išsiųstų laiškų turėjo bent dešimt kartų viršyti deklaruotą prizą.
Žmonių loterijos
Yra loterijų su daiktų prizais. Nenuostabu, kad jie dažnai vadinami „liaudies“. Čia yra tik vienas pavyzdys. Ko nesugeba transporto darbuotojai, kad keleiviai susimokėtų už kelionę! 2010 m. Pavasarį Barnaule (Rusija) vyko stimuliuojanti loterija „Lucky Ticket“. Jame buvo nupieštas tramvajaus ir troleibuso bilietų skaičius ir eilė. Prizai buvo išdalinti „natūra“: dovanų kortelės iš elektronikos prekybos centro, mėnesio miesto transporto bilietai ir panašiai. Nereikia nė sakyti, kad per tris loterijos savaites „triušių“skaičius smarkiai sumažėjo, o transporto darbuotojų pajamos (apskritai nedidelėmis sąnaudomis) labai išaugo!
Kartais pats žaidimo procesas apima ne mažiau kaip norą gauti prizą, ypač kai galimybė laimėti yra įtraukta į kiekvieną bilietą. Tai teigia, pavyzdžiui, momentinės visos Rusijos būsto loterijos organizatoriai. Ir tada, kaip ir turi būti reklamoje: „Netikėk manimi? Nenorite rizikuoti? Vis dar abejojate? Tada mes einame pas tave! Ir ne šiaip sau, bet ir pateikus pagrįstą pasiūlymą praktikuoti virtualių loterijos bilietų pradžią.
Žaidimo taisyklės yra paprastos. Biliete yra devynios eilutės (aukštai), kiekvienoje - po du žaidimų langus; viename iš jų yra „laimingas skaičius“, lygus laimėjimo sumai (jis nurodytas ant apsauginio sluoksnio). Užduotis paprasta - atspėkite šį skaičių kiekvienoje eilutėje atidarydami tik vieną langą. Taigi, judėdami aukštyn eilute, galite pasirinktinai atidaryti nuo vieno iki devynių langų. Pirmos nesėkmės atveju žaidimas baigiasi, bilietas laikomas nelaimingu. Taigi kiek teisingas yra organizatorių teiginys? Akivaizdu, kad tikimybė pasirinkti „laimingą skaičių“kiekviename žingsnyje yra vienoda - lygi pusei - ir eksponentiškai mažėja žaidimo eigoje:
Koks yra vidutinis vieno bilieto laimėjimas? Jei žengsite tik vieną žingsnį iš devynių, tai bus
ir toliau tik mažės (dėl to, kad tikimybė laimėti mažėja daug greičiau, nei auga prizo suma), o nuostoliai, priešingai, didės.
Kad ir kaip sunkiai treniruotumėtės, neįmanoma numatyti žaidimo baigties kiekvienu konkrečiu atveju. Bet vis tiek verta sėsti prie kompiuterio. Jei ilgai eksperimentuojate su virtualiais bilietais ir užfiksuojate rezultatus, galite pamatyti, kaip pasireikš „didelių skaičių dėsnis“- padidėjus bandymų skaičiui, įvykio (didelio piniginio prizo) įvykio dažnis artėja prie jo tikimybės, o pastarasis, kaip matėme, yra mažas.
Turint bilietą rankoje, protinga apsiriboti antrosios ar trečiosios eilutės skaičių atspėjimu ir kukliu laimėjimu. Akivaizdu, kad daugelis loterijos dalyvių galvojo taip pat. O kuo jo organizatoriai visada tikisi? Kaip ir bet kuriame lošime - žmogaus silpnybės ir nesugebėjimas laiku sustoti. Todėl jau ant kitos partijos bilietų „daugybei žaidėjų pageidavimų“buvo paryškinta nedegios sumos eilutė (septintame aukšte) ir pridėta nauja taisyklė: jei penktoje ar šeštoje eilutėje atidarytas langas su „+“simboliu, žaidimas baigsis ir jūs gauti paguodos prizą - 50 rublių. Loterijos organizatoriai negali paneigti išradingumo, tiesa? Kaip manote, ar taisyklės tapo teisingesnės ir ar po šių naujovių išaugo bilietų pardavimas?
Neatleistinas slydimas
Ar loterijos organizatoriai daro klaidų? Norite tikėkite ar ne, bet būna. Ši istorija įvyko vienoje Amerikos valstijoje prieš 20 metų. Kito loterijos „6 iš 44“burtų traukimo kortelės buvo parduotos už 1 USD, tuo tarpu prizų fondas tuo metu siekė 27,9 mln. USD, ir beveik visos jos nukrito ant jackpoto.
Keletas investuotojų suprato, kad gali užsidirbti gerų pinigų pirkdami ir užpildydami korteles su visais įmanomais šešių iš keturiasdešimt keturių skaičių deriniais. Jie atsižvelgė į papildomas išlaidas ir riziką (visų pirma, ištyrę ankstesnių burtų traukimo statistiką, jie išsiaiškino: 120 atvejų nebuvo laimėtojų, 40 - vienas laimėjo, kitais - 10 - du) ir tuo pačiu įvertino pelną. Norėdami įgyvendinti planą, pritraukta 2 500 smulkiųjų investuotojų iš skirtingų šalių, taip pat grupė žmonių, dirbantys kortelėmis. Todėl dėl laiko stokos buvo galima panaudoti tik 70% planuoto kortų skaičiaus, tačiau to pakako pagrindiniam prizui laimėti. Bet pasisekė!
Koks buvo neteisingas loterijos organizatorių skaičiavimas, kuris paskatino investuotojus susitarti? O koks, jų skaičiavimais, buvo tikėtinas bendras investuoto dolerio atsipirkimas ir pelnas? (Mažos išlaidos yra nereikšmingos.) Klaidingai apskaičiuota, kad loterijos organizatoriai parduodavo loterijos korteles už nepalankią kainą. Tiesą sakant, jį reikėjo keturis kartus padidinti. Iš tiesų, norint užtikrinti pergalę, reikia užpildyti
korteles. Prizinis fondas yra 27,9 mln. Tai reiškia, kad kortelė turi kainuoti mažiausiai 27 900 000: 7059052 = 3,95 USD **. Nenuostabu, kad investuotojams 1 USD kaina buvo labai patraukli. Idealiu atveju jos pajamos yra 2,95 USD. Skaičiavimai rodo, kad bendras numatomas atsipirkimas yra
Net atsižvelgiant į visas išlaidas, pajamos būtų didžiulės!
Nesunku atspėti, kuo baigėsi ši istorija. Sužinoję, kad pagrindinis prizas atiteko investuotojų grupei, loterijos organizatoriai iš pradžių nenorėjo išmokėti laimėjimo. Tačiau po trumpo teisinio ginčo jie buvo priversti pripažinti, kad atsisakymo priežasčių nėra. Todėl jie turėjo brangiai sumokėti už savo klaidą. Byla išskirtinė ir gana pamokanti.
Priežastis
Tad ar verta dalyvauti loterijose, tikintis greitai praturtėti? Ar turėtumėte pasikliauti atsitiktinumu, kad gautumėte lengvų pinigų? Pasisekė ar ne, yra didelis klausimas. Loteriją reguliariai žaidžia milijonai žmonių visame pasaulyje, o tik nedaugelis laimi. Tačiau vienas dalykas yra tikras - organizatoriai visada laimi bet kurioje loterijoje.
Nėra patikimų strategijų, kaip atspėti loterijos numerius ar laimingo bilieto pastebėjimą momentiniame loterijos žaidime, išskyrus tai, kad užpildote visas korteles ar nusipirkote visus bilietus. Bet tai įmanoma tik su sąlyga, kad žaidėjai sujungs jėgas, ir tai yra prasminga daryti tik tuo atveju, jei prizų fondas žymiai viršija visų bilietų kainą, į kurią negalima tikėtis.
„Pašto“loterijoje organizatoriai ir žaidėjai išsprendžia dvi atvirkštines problemas: pirmieji pasirenka derinį, kurio niekas neatspėja, o antrasis - uoliai - ir vis tiek įdomiau stebėti šias „varžybas“, nei atsitiktinis skaičių kritimas loterijoje. Kokios abiejų teorijos sėkmės galimybės? Bet praktiškai? Kaip bebūtų keista, jie yra skirtingi: ne paslaptis, kad nesusiję dalyviai dažnai lažinasi dėl tų pačių derinių, tačiau organizatorių rankose yra bet kokie sutapimai ir pasikartojimai: beveik visada galite apskaičiuoti labiausiai tikėtiną tokių derinių „ratą“.
Loterijos organizatoriai domisi, kad joje dalyvautų kuo daugiau žmonių. Turėdamas tinkamą laukiamą laimėjimą ir priimtiną bilietų kainą, bet kuris prizinis fondas greitai atsipirks dėl parduotų bilietų skaičiaus (žaidėjai, žinoma, nežino, kokia jų dalis yra tame ar kitame laimėjime). Pardavimą įtakoja tiek prizo dydis, tiek tikimybė laimėti, ir jį galima keisti keičiant žaidimo taisykles. Taigi, jei ši tikimybė yra gana didelė (o šiuo atveju laimėjimai visada yra maži) arba, priešingai, per maža, loterijos bilietų pardavimas krenta. Trumpai tariant, loterijos sėkmė daugiausia priklauso nuo organizatorių sugebėjimo surasti tą „aukso vidurį“tarp prizų dydžio ir galimybės laimėti, kuris suteiktų jiems dideles pajamas. Jie puikiai moka šį meną, yra susipažinę su lošimų mėgėjų psichologija,ir su tikimybių teorijos pagrindais.
Ir galiausiai, pagrindinis proto argumentas, ne tik patvirtintas šimtmečių patirtimi, bet ir moksliškai pagrįstas: bet kuriame lošimo žaidime sėkmė ir atsitiktinumas kiekvieną kartą sprendžia viską, tačiau kuo daugiau žaidi, tuo daugiau pralaimi.
Straipsnio žodynėlis
Kombinacija yra k elementų pasirinkimas iš n galimų n (k yra mažesnis arba lygus n), kuriame jų tvarka nėra svarbi. Galimų n elementų derinių skaičius k žymimas ir apskaičiuojamas pagal formulę
Atsitiktinis įvykis yra įvykis (testo rezultatas, rezultatas), kuris objektyviai gali atsirasti, bet gali ir nepasireikšti duotame teste.
A įvykio tikimybė yra skaičius, išreiškiantis atsitiktinio įvykio A objektyvios galimybės matą; yra apibrėžiamas kaip šiam įvykiui palankių bandymų rezultatų m (įskaitant jo atsiradimą) ir visų vienodai galimų rezultatų skaičiaus n santykis, tai yra lygus
Atsitiktinis kintamasis yra kintamasis dydis X, kuris, atsižvelgiant į atvejį, gali turėti vieną ar kitą reikšmę.
Matematinis laukimas (arba vidutinė vertė) atsitiktinio kintamojo X, kuris ima baigtinį skaičių reikšmių x1. x2 … xn, yra skaičius, lygus šių verčių sandaugos sumai iš atitinkamų tikimybių p1. p2 … pn, tai yra
Straipsnio komentarai
* Vidutinis vieno bilieto laimėjimas. Ji apibrėžiama kaip galimų laimėjimų sandauga pagal jų atsiradimo tikimybę.
** Minimali loterijos bilieto kaina yra lygi matematiniam žaidėjo laimėjimo lūkesčiui. Šiame pavyzdyje nebuvo atsižvelgta į „mažus“laimėjimus, kurie iš tikrųjų neturi įtakos rezultatui.
N. Karpushina
„Atradimai ir hipotezės“Nr. 8, 2012 m