Nesvarbu, ar jūs laikas patikrinti, kaip greitai užpildote savo kavos virimo aparatą, ar tiesiog suskaičiavote žingsnius iki autobuso stotelės ryte, kažkas apie kasdienio gyvenimo monotoniją verčia mus pamėginti tai paversti žaidimu. Aštuoniolikto amžiaus Prūsijos miesto Konigsbergo (dabar, kaip jūs žinote, tai yra Kaliningradas) gyventojai buvo tokie patys kaip mes visi. Tiesiog žaidimas, kurį jie žaidė su septyniais savo miesto tiltais, vieną dieną sužadino vieno didžiausių matematikų žmonijos istorijoje susidomėjimą.
Konigsbergas buvo pastatytas ant Pregelio (Pregolijos) upės kranto, kuris miestą padalijo į keturias atskiras gyvenamąsias zonas. Žmonės iš vieno rajono į kitą judėjo per septynis skirtingus tiltus. Pasak legendos, populiari pramoga sekmadienio pasivaikščiojimų metu buvo bandyti pervažiuoti visą miestą, kad kiekvieną tiltą būtų galima kirsti tik vieną kartą. Niekas nesugalvojo, kaip tai padaryti, tačiau tai nereiškia, kad problema neturi sprendimo. Jie tiesiog turėjo kreiptis į tinkamą ekspertą, kad su juo susipažintų.
- „Salik.biz“
1735 m. Danzigo (dabar Lenkijos miestas Gdanskas), esančio už 120 km į vakarus nuo Konigsbergo, meras Karlas Leonardas Gottliebas Ehleris parašė Leonardui Euleriui laišką su prašymu padėti išspręsti šią problemą vietinio matematikos profesoriaus Heinricho vardu. Kuehn. Net tada Euleris buvo garsus ir labai sėkmingas matematikas - per metus po šio laiško jis išleido pirmąją knygą, o per visą savo gyvenimą parašė daugiau nei 500 knygų ir straipsnių.
Todėl nenuostabu, kad iš pradžių Euleris pamanė, kad spręsti jo problemą yra žemesnis už jo orumą, ir atsakydamas parašė: prašymą matematikui, o ne kam nors kitam, nes sprendimas yra grindžiamas tik sveiku protu ir nepriklauso nuo jokių žinomų matematikos principų “.
Tačiau galiausiai Ehleriui ir Kühnui pavyko įtikinti Eulerį ir jis suprato, kad tai yra visiškai naujas matematikos tipas - „pozicijų geometrija“, šiandien žinoma kaip topologija. Topologijoje nesvarbu tiksli objekto forma ar vieta. Yra net senas pokštas, kad topologas negali pasakyti skirtumo tarp spurgos ir kavos puodelio, nes abu objektai turi tiksliai vieną skylę. Iki tol apie šią visiškai naują matematikos sritį buvo tik rašoma, tačiau dar niekas nesuprato, kokias problemas ji galėtų išspręsti. Septyni Konigsbergo tiltai buvo puikus eksperimentinis naujos teorijos patvirtinimas, nes problemai nereikėjo jokių matavimų ar tikslių skaičiavimų. Negalėdami prarasti jokios svarbios informacijos, sudėtingą miesto žemėlapį galite paversti paprastu ir suprantamu grafiku (schema).
Nors gali kilti pagunda išspręsti šią problemą nubrėžus visus įmanomus maršrutus per miestą, Euleris iškart suprato, kad ši strategija užtruks per ilgai ir nebus veiksminga su kitomis panašiomis problemomis (kas būtų, jei, tarkime, dvylika tiltai?). Vietoj to, jis nusprendė kuriam laikui atsipūsti nuo tiltų ir paženklino kraštą raidėmis A, B, C ir D. Taigi jis dabar galėtų apibūdinti kelionę per tiltą iš A srities į B zoną kaip AB, o kelionę iš A srities per B zoną. D kaip ABD. Čia svarbu pažymėti, kad maršruto aprašyme raidžių skaičius visada bus didesnis nei perbrauktų tiltų skaičius. Taigi maršrutas AB kerta vieną tiltą, o maršrutas ABD kerta du tiltus ir pan. Euleris suprato, kad kadangi Konigsberge yra septyni tiltai, norėdami juos visus kirsti,maršrutą turi sudaryti aštuonios raidės, o tai reiškia, kad uždaviniui išspręsti reikės tiksliai aštuonių raidžių.
Tada jis sugalvojo bendresnę taisyklę, naudodamas dar supaprastintą schemą. Jei turėtumėte tik dvi sausumos atkarpas, A ir B, ir vieną kartą pervažiuotumėte tiltą, tada A dalis galėtų būti ten, kur prasidėjo kelionė arba kur ji pasibaigė, tačiau A dalyje būtumėte tik vieną kartą. Jei vieną kartą kirsite tiltus a, b ir c, jūs būtumėte A skyriuje lygiai du kartus. Tai lėmė patogią taisyklę: jei turite vienodą skaičių tiltų, vedančių į vieną žemės sklypą, turite jį pridėti prie vieno, o tada padalinti bendrą skaičių per du, kad suprastumėte, kiek kartų ta atkarpa turėtų būti naudojama jūsų kelionės metu. (šiame pavyzdyje pridėdami vieną prie tiltų skaičiaus, tai yra, prie 3, gauname keturis, o padalinę keturis iš dviejų, gauname du,tai yra, lygiai du kartus per kelionę pereinama A dalis.
Reklaminis vaizdo įrašas:
Šis rezultatas sugrąžino Eulerį į jo pradinę problemą. Yra penki tiltai, vedantys į A skyrių, todėl jo ieškomas aštuonių raidžių sprendimas turės būti perbrauktas tris kartus. B, C ir D sekcijose yra du tilteliai, vedantys į juos, todėl kiekvienas turi kirsti du kartus. Bet 3 + 2 + 2 + 2 yra 9, o ne 8, nors pagal būklę reikia pereiti tik 8 atkarpas ir kirsti 7 tiltus. Tai reiškia, kad neįmanoma praeiti per visą Karaliaučiaus miestą naudojant kiekvieną tiltą tiksliai vieną kartą. Kitaip tariant, šiuo atveju problema neturi sprendimo.
Tačiau, kaip ir bet kuris tikras matematikas, Euleris tuo nesustojo. Jis toliau dirbo ir sukūrė bendresnę taisyklę kitiems miestams su skirtingu tiltų skaičiumi. Jei mieste yra nelyginis tiltų skaičius, tuomet yra paprastas būdas sužinoti, ar galite leistis į tokią kelionę, ar ne: jei kiekvienos raidės, žyminčios žemės sklypą, įvykių skaičiaus suma yra viena daugiau nei tiltų skaičius (kaip, pavyzdžiui, aštuonių raidžių sprendime) minėta anksčiau), tokia kelionė yra įmanoma. Jei suma yra didesnė už šį skaičių, neįmanoma.
O lyginis skaičius tiltų? Tokiu atveju viskas priklauso nuo to, nuo ko pradėti. Jei pradedate nuo A skyriaus ir važiuojate per du tiltus, sprendimas A pasirodo du kartus. Jei pradedate nuo kitos pusės, A pasirodys tik vieną kartą. Jei yra keturi tiltai, tada A pasirodo tris kartus, jei ši atkarpa buvo atskaitos taškas, arba du kartus, jei jo nebuvo. Apskritai tai reiškia, kad jei kelionė prasideda ne nuo A sekcijos, ją reikia kirsti dvigubai daugiau kartų nei tiltų skaičius (keturi padalinti iš dviejų duoda du). Jei kelionė prasideda nuo A sekcijos, ji turi keistis dar vieną kartą.
Eulerio sprendimo genialumas slypi net ne atsakyme, o jo taikomame metode. Tai buvo vienas iš ankstyviausių grafų teorijos, dar žinomos kaip tinklo teorija, naudojimo atvejų, labai ieškomo matematikos srities šiandieniniame pasaulyje, užpildytos transportavimo, socialiniais ir elektroniniais tinklais. Karaliaučiaus srityje miestas baigėsi dar vienu tiltu, dėl kurio Eulerio sprendimas buvo prieštaringas, o tada Antrojo pasaulinio karo metu britų pajėgos sunaikino didžiąją miesto dalį. Šiandien miestas ir upė turi naujus pavadinimus, tačiau senoji problema gyvena visiškai naujoje matematikos srityje.
Igoris Abramovas